Cho các sô thực a,b tm a+b khác 0. CMR:\(a^2+b^2+(\frac{1+ab}{a+b})^2\)
C1: Giả sử x,y là những số thực dương phân biệt tm:
\(\frac{y}{x+y}+\frac{2y^2}{x^2+y^2}+\frac{4y^4}{x^4+y^4}+\frac{8y^8}{x^8-y^8}=4\)
CMR 5y=4x
C2: Giả sử a,b,c là các số thực dương tm a+b+c=abc
\(\frac{a}{1+a^2}+\frac{2b}{1+b^2}+\frac{3c}{1+c^2}=\frac{abc\left(5a+4b+3c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
C3: Cho a,b,c khác 0 tm \(a\left(b+c\right)^2+b\left(c+a\right)^2+c\left(a+b\right)^2=4abc\)
CMR : \(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}\)với n là số tự nhiên lẻ
C4: Cho các số a,b,x,y tm : ab khác 0 ; a+b khác 0 ; \(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a+b}\); \(x^2+y^2=1\)
CMR : a, \(ay^2=bx^2\)
b, \(\frac{x^{200}}{a^{100}}+\frac{y^{200}}{b^{100}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{100}}\)
1) Cho a,b,c>0 tm a+b+c=3. Cmr \(\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}\le\frac{3}{4}\)
2) Cho a,b,c>0 tm \(a^2+b^2+c^2\le abc\).Cmr \(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}\)
3) Cho a,b,c>0 tm \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1\).Cmr \(\sqrt{\frac{ab}{a+b+2c}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{ca}{c+a+2b}}\le\frac{1}{2}\)
Giúp mình mới nhé các bạn. Mình đang cần gấp
1,cho a,b,c là các sô thực dương thỏa mãn ab+a+b=1.CMR:
\(\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}=\frac{1+ab}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}\)
Với a,b là các số thực dương thỏa mãn ab+a + b = 1 .Suy ra 1 + a2 =ab + a + b + a2 = ( a+b) ( a + 1 )
1 + b2 = ab + a + b + b2 = (a + b) ( b + 1 )
Khi đó ta có :
\(vt=\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}=\frac{a}{\left(a+b\right)\left(a+1\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(b+1\right)}=\frac{2ab+a+b}{\left(a+b\right)\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\)
\(\frac{1+ab}{\left(a+b\right)\left(ab+a+b+1\right)}=\frac{1+ab}{2\left(a+b\right)}\)
\(vp=\frac{1+ab}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}=\frac{1+ab}{\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+1\right)\left(a+b\right)\left(b+1\right)}}\)
\(=\frac{1+ab}{\left(a+b\right)\sqrt{2\left(ab+a+b+1\right)}}=\frac{1+ab}{\left(a+b\right)\sqrt{2\left(1+1\right)}}=\frac{1+ab}{2\left(a+b\right)}\)
=> Đẳng thức được chứng minh
Cho x>y TM: x+y<=1 CMR: 1/x^2+y^2 = 1/xy>=6
Cho a,b,c >0 TM: a+b+c<=1 CMR: (1/a^2+bc) + (1/b^2+ac)+ 1/c^2+2ab >=9
Cho a,b>0 TM: a+b<=1 ;CMR: (1/a^b^2)+4b+1/ab>=7
Cho a,b>0 TM:a+b<=1. CMR: 1/1+a^2+b^2 +1/2ab >=8/3
Cho a,b,c>0 TM: a+b+c<=3.CMR: 1/a^2+b^2+c^2 +2009/ab+bc+ac >=670
Cho x>y TM: x+y<=1 CMR: 1/x^2+y^2 = 1/xy>=6
Cho a,b,c >0 TM: a+b+c<=1 CMR: (1/a^2+bc) + (1/b^2+ac)+ 1/c^2+2ab >=9
Cho a,b>0 TM: a+b<=1 ;CMR: (1/a^b^2)+4b+1/ab>=7
Cho a,b>0 TM:a+b<=1. CMR: 1/1+a^2+b^2 +1/2ab >=8/3
Cho a,b,c>0 TM: a+b+c<=3.CMR: 1/a^2+b^2+c^2 +2009/ab+bc+ac >=670
Cho x>y TM: x+y<=1 CMR: 1/x^2+y^2 = 1/xy>=6
Cho a,b,c >0 TM: a+b+c<=1 CMR: (1/a^2+bc) + (1/b^2+ac)+ 1/c^2+2ab >=9
Cho a,b>0 TM: a+b<=1 ;CMR: (1/a^b^2)+4b+1/ab>=7
Cho a,b>0 TM:a+b<=1. CMR: 1/1+a^2+b^2 +1/2ab >=8/3
Cho a,b,c>0 TM: a+b+c<=3.CMR: 1/a^2+b^2+c^2 +2009/ab+bc+ac >=670
1) Cho a,b,c>0 tm a+b+c=3. Cmr \(\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}\le\frac{3}{4}\)
2) Cho a,b,c>0 tm a^2+b^2+c^2 bé hơn hoặc bằng abc. Cmr \(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}\)
3) Cho a,b,c>0 tm a+b+c<=3. Cmr \(\frac{ab}{\sqrt{3+c}}+\frac{bc}{\sqrt{3+a}}+\frac{ca}{\sqrt{3+b}}\le\frac{3}{2}\)
4) Cho a,b,c>0 tm a+b+c=2. Cmr \(\frac{a}{\sqrt{4a+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{4b+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{4c+3ab}}\le1\)
5) Cho a,b,c>0. Cmr \(\sqrt{\frac{a^3}{5a^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{5b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{5c^2+\left(a+b\right)^2}}\le\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}\)
6) Cho a,b,c>0. Cmr \(\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}+\frac{b^2}{\left(2b+a\right)\left(2b+c\right)}+\frac{c^2}{\left(2c+a\right)\left(2c+b\right)}\le\frac{1}{3}\)
Giúp mình với nhé các bạn
Cho x>y TM: x+y<=1 CMR: 1/x^2+y^2 + 1/xy>=6
Cho a,b,c >0 TM: a+b+c<=1 CMR: (1/a^2+bc) + (1/b^2+ac)+ 1/c^2+2ab >=9
Cho a,b>0 TM: a+b<=1 ;CMR: (1/a^b^2)+ 4b + 1/ab>=7
Cho a,b>0 TM:a+b<=1. CMR: 1/1+a^2+b^2 + 1/2ab >=8/3
Cho a,b,c>0 TM: a+b+c<=3.CMR: 1/a^2+b^2+c^2 + 2009/ab+bc+ac >=670
Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0. CMR: \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\)
Em thử nha, có gì sai bỏ qua ạ.
Đề cho gọn,Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\) thì \(xy+yz+zx=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=0\)
Và \(x+y+z=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)
Ta có: \(VT=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)}=0\) (1)
Mặt khác,ta có \(VT=\left|x+y+z\right|=0\) (2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm
Dòng cuối phải là
VP=|x+y+z|=0
đúng không????